Etudier une fonction, c’est en ’ en gros’ être capable de donner certaines de ses propriétés ( disons celles qu’ont peut trouver car elle peut en avoir des cachées...) et d’étudier ses variations. L’étape finale consistant à tracer sa courbe représentative. Même si les calculettes modernes sont capables de tracer la courbe d’une fonction, de calculer et transformer sa dérivée etc... il convient de savoir mener une étude de fonction sur le papier, la calculatrice servant de vérification.

On peut schématiquement fixer les étapes d’une étude classique :

1. ensemble de définition et domaine d’étude : l’étude de la parité ou de la périodicité de la fonction permet de réduire éventuellement l’étude à un domaine plus petit
2. dérivabilité, continuité : on regarde si la fonction est dérivable et, là où elle ne l’est pas ( souvent , quand il y a une racine carrée ou une valeur absolue ), si elle est continue ( pas de panique, les fonctions non continues sont quasiment absentes en terminale)
3. limites aux bornes : on étudie les limites aux bornes du domaine de définition (ou du domaine d’étude). C’est là qu’on rencontre parfois des formes indéterminées
4. Etude des variations : il s’agit ici de calculer la dérivée et de trouver son signe.Si le calcul de la dérivée est purement mécanique, la mise en forme du résultat obtenu et l’étude du signe peuvent être plus ou moins délicates. Il y a différentes techniques qu’il faut savoir utiliser à bon escient.
5. tableau de variations : il s’agit en fait de rassembler les résultats précédents dans un tableau
6. Représentation graphique

Le schéma précédent qui constitue en général l’essentiel peut être complété par plusieurs choses :

1. étude de points et tangentes remarquables : il est parfois intéressant d’étudier la position de courbe par rapport à ses tangentes en certains points remarquables. également intéressants les points où il y a des demi-tangentes ( voire une seule...). Ces points particuliers ne sont pas souvent rencontrés en terminale. On peut cependant en obtenir, notamment avec des fonctions utilisant les valeurs absolues ou les racines carrées.
2. étude des branches infinies : pour préciser le comportement de la fonction en l’infini, on cherche des courbes simples (souvent des droites) asymptotes à la courbe.

tous ces points seront ( je l’espère) développés dans d’autres rubriques...